Секрет решения задач по математике №4

Метод симметрии

Напомню, что прошлом выпуске я показал, как можно решать системы уравнений с двумя переменными {f1(x,y) = с1 и f2(x,y) = с2}, в которых функции f1 и f2 симметричны относительно переменных х и у, т. е. f1(x,y) = f1(y,x) и f2(x,y) = f2(y,x). Очевидно, что если такая система уравнений имеет решение (a; b), то и пара (b; a) также будет решением этой системы.

Это означает, что в тестовых заданиях в правильном ответе наряду с решением (a; b) должно быть и решение (b; a). Поэтому в таких тестовых заданиях сразу же следует отбросить те ответы, в которых нет пар чисел вида (a; b) и (b; a) или пары (а; a).

Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y = 6 и log3x + log3y = -8}.

1) (2; 4), (4 ; 2);      2) (1; 5), (2 ; 4);      3) (1; 5);

4) (3; 3), (1 ; 5);      5) (3; 3), (4 ; 4).

Решение. Понятно, что все ответы, кроме первого следует отбросить как неверные.

Я привел этот пример, чтобы показать что это задание — педагогический брак. Даже пятиклассник, ничего не знающий о логарифмах может решить это задание. При этом он будет опираться не на математические знания, а проверять только форму ответов.

Хорошо это или плохо? Уверен, что нет. Ведь получается, что в современном образовании форма определяет содержание. А ведь всегда было наоборот. Опять возникает риторический вопрос: «Тесты это благо или «опиум» для народа?». И снова я сошлюсь на свой ответ в статье Почем опиум для народа? .

Возникает уже не риторический вопрос: «А можно ли составить такое задание, которое не допускает таких «левых», «халявных» решений?». Частично ответ содержится в следующем примере.

Пример 2. Решите систему уравнений: {x3 + y3 = 65 и x2y + xy2 = 20}.

1)(4; 1);      2)(-1; 4);      3) (4; 4);        4) (4; 1), (1 ; 4);    5) (4; 4), (1 ; 1).

Решение. На первый взгляд кажется, что без серьезного труда здесь «не вынуть рыбку из пруда». Ведь сразу три ответа претендуют на право быть правильными. Это ответы 3), 4) и 5).

Как быть? Да очень просто, подставить пару (4; 4) для проверки в первое уравнение данной системы: 43 + 43 > 65. Значит ответы 3) и 5) неверные. Остается признать правильным ответ 4).

Относительно нашего вопроса. Да, здесь созданы затруднения для «бесплатного», «халявного» решения тестового задания. Но все равно нам удалось обойти препятствие и не решать предложенную систему уравнений. И все таки вопрос остается в силе: «Можно ли так составить систему уравнений, чтобы экзаменующийся был вынужден решать ее, так как ему было бы не выгодно искать обходные пути?»

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y = -2 и x2y2 = 100}.

1) (-8; 6), (6 ; -8);      2) (-5; 6);      3) (-6; 5), (2 ; 8);    4) (-9; 4), (2 ; 7);       5) (4; 5), (6 ; -5).

Пример 2. Решите систему уравнений: {x — y = 4 и 3y2 — 2|y| — 1 = 0}.
1) (-3; -1), (5 ; -1);      2) (-3; 1), (-5; 1);      3) (3; -1), (5 ; 1);    4) (3; -1), (-5 ; -1);      5) (-3; 1), (5 ; 1).

0 голосов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *