Тестовые задания по тригонометрии — самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) знания без формул?
Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой — только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.
Пример 1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.
1) -10/5; 2) 10/5; 3) -11/5; 4) 11/5; 5) 7/5.
Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α < π/2 (угол α — острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит — почитайте учебник геометрии).
Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен — вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα — отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).
Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 — правильный.
Пример 2. Дано: sinα = -3/5, π < α < 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.
1) 25/12; 2) 17/6; 3) -25/12; 4) -17/6; 5) 25/6.
В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с ординатой -3.
Очевидно, что треугольник МАО — египетский. Поэтому МА = 4. Значит, точка М имеет координаты х = -4, у = -3.
По определению tgα = у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6. Значит, правильный ответ 2.
А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае угол α расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда, когда угол α расположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.
Задания для самостоятельного решения
Пример 1. Дано: sinα = 40/41, 0 < α < π/2. Вычислите tgα — ctgα.
1) 1681/360; 2) -1519/360; 3) -1681/360;
4) 81/360; 5) 1519/360.
Пример 2. Дано: cosα = -3/5, π/2 < α < π. Вычислите tgα + sinα.
1) -8/15; 2) 8/15; 3) 32/15; 4) -32/15; 5) 31/20.